FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
ESPACIO MUESTRAL. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico
denotado por “S” o “Ω ”
VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la
duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.
VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio
muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.
Una variable aleatoria se puede clasificar en:
- Variable aleatoria discreta.
- Variable aleatoria continua.
Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.
La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.
El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.
Número de circuitos en una computadora.
El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos
Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos
valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.
La estatura de un alumno de un grupo escolar.
El peso en gramos de una moneda.
La edad de un hijo de familia.
Las dimensiones de un vehículo.
DISTRIBUCIONES
Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo seespera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos quepermiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias ytomar decisiones en condiciones de incertidumbre.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1._ Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:
Datos:
5 buenas
n = 7 2 defectuosas
r = 3
X = Numero de colchas defectuosas
X = 0, 1, 2
función de Probabilidad
X = Xi
|
0
|
1
|
2
|
P (Xi)
|
2/7
|
4/7
|
1/7
|
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
| F(X) |
0
|
2/7
|
0 + 2/7 = 2/7
|
1
|
4/7
|
2/7 + 4/7 = 6/7
|
2
|
1/7
|
6/7 + 1/7 = 1
|
Media
µ = (0)(2/7) + (1)(4/7) + (2)(1/7) = 6/7
Varianza
V(x)= (0 – 6/7)2(2/7) + (1-6/7)2 (4/7) + (2-6/7)2 (1/7)= 20/49 = 0.40816
Desviación Estándar
σ = 0.40816 = 0.6388
La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:
X = Xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
P (Xi)
|
2/28
|
3/28
|
4/28
|
5/28
|
4/20
|
3/20
|
2/20
|
1/20
|
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
|
F(X)
|
1
|
2/28
|
0 + 2/28 = 2/28
|
2
|
3/28
|
2/28 + 3/28 = 5/28
|
3
|
4/28
|
5/28 + 4/28 = 9/28
|
4
|
5/28
|
9/28 + 5/28 = 14/28
|
5
|
4/20
|
14/28 + 4/20 = 14/20
|
6
|
3/20
|
14/20 + 3/20 = 17/20
|
7
|
2/20
|
17/20 + 2/20 = 19/20
|
8
|
1/20
|
19/20 + 1/20 = 1
|
Media
µ = (1)(2/28) + (2)(3/28) + (3)(4/28) + (4)(5/48) + (5)(4/20) + (6)(3/20) + (7)(2/20) + (8)(1/20) = 129/28
Varianza
V(x)=(1-129/28)2(2/28)+(2-129/28)2(3/28)+(3-129/28)2(4/28)+(4-129/28)2(5/28)+(5-129/28)2(4/20)+
(6-129/28)2(3/20)+(7-129/28)2(2/20)+(8-129/28)2(1/20)= 57/16 = 3.5625
Desviación Estándar
σ = 3.5625 = 1.887
2._ Una variable aleatroria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde
F(x)= k(9-x) si x= 5, 6, 7, 8
0 en otro caso
a) Determine K, b) encuentre la media y la varianza de X
P(X=5) = k (9-5) = 4k
P(X=6) =k(9-6) =3k
P(X=7) =k(9-7) =2k
P(X=8) =k(9-8) =1k
Sabemos que: 10k = 1 entonces tenemos que:
k = 1/10
función de Probabilidad
X
|
5
|
6
|
7
|
8
|
P (X)
|
4/10
|
3/10
|
2/10
|
1/10
|
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
|
F(X)
|
5
|
4/10
|
0+4/10 = 4/10
|
6
|
3/10
|
4/10+3/10 =7/10
|
7
|
2/10
|
7/10+2/10 =9/10
|
8
|
1/10
|
9/10+1/10 = 1
|
0 si X < 5
4/10 si 5 ≤ X ≤ 6
F(X) 7/10 si 6 ≤ X ≤ 7
9/10 si 8 ≤ X ≤ 9
1 si X> 8
Media
µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+(8) (1/10) = 6
Varianza
V(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2 (3/10) + (7-6)2 (2/10)+ (8-6)2 (1/10) = 1
3._ Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una maquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de probabilidad para Z esta dada por,
F(x)= x2-3x para x= 4, 5, 6, 7
60 si x= 4, 5, 6, 7
Encuentre, a) la distribución acumulada, b) la desviación estándar,
Función de Probabilidad
X
|
4
|
5
|
6
|
7
|
P (Xi)
|
4/60
|
10/60
|
18/60
|
28/60
|
P(X=4)= (4)2-3/4) = 4/60
60
P(X=5)= (5)2-3/5) = 10/60
60
P(X=6)= (6)2-3/6) = 18/60
60
P(X=7)= (7)2-3/7) = 28/60
60
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
|
F(X)
|
4
|
4/60
|
0+4/60 = 4/60
|
5
|
10/60
|
4/60+10/60 = 14/60
|
6
|
18/60
|
14/60+18/60 = 32/60
|
7
|
28/60
|
32/60+28/60 = 1
|
µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60
Varianza
V(x)= (4 - 37/60)2(4/60) + (5 – 37/60)2 (10/60) + (6 – 37/60)2 (18/60) + (7 – 37/60) (28/60)
V(x)=8.560
Desviación Estándarσ = (8.560)1/2 = 2.925
4._ . De los usuarios de un centro de documentaci on, el 23 % pertenece al grupo I de edad (menos de 20 años). Supongamos, tambi en, que la poblaci on es su cientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Realizamos el experimento que consiste en elegir al azar tres usuarios del centro de documentaci on y observar la variable aleatoria X=n umero de usuarios que pertenecen al grupo I de edad, entre los tres elegidos al azar.
a) Hallar el conjunto de los posibles resultados de la variable aleatoria X, as como su funci on de probabilidad.
b) Hallar la probabilidad de que el n umero de usuarios que pertenecen al grupo I sea menor que dos.
c) Determinar la funci on de distribuci on de X y hacer su representaci on gr a ca.
d) Calcular la media y la desviaci on t pica de X.
5._ De un total de 500 libros, 50 son cient cos. Extraemos al azar un primer libro entre los 500 y lo reponemos en la poblaci on de libros antes de realizar una nueva extracci on; volvemos a extraer al azar un segundo libro entre los 500 y lo reponemos antes de hacer una nueva extracci on; nuevamente, extraemos un quinto libro entre los 500. Consideramos la variable aleatoria X=n umero de libros cient cos, entre los 5 elegidos al azar con reposici on.
a) Hallar la funci on de probabilidad de X y hacer su representaci on gr a ca.
b) Determinar la funci on de distribuci on de X y hacer su representaci on gr a ca.c) A partir de la funci on de distribuci on de X, calcular la probabilidad de que el n umero de libros cient cos sea mayor que 3.
d) Calcular la media y la desviaci on t pica de X.
6._ Los libros que salen de una imprenta se clasi can en defectuosos (si tienen defectos de impresi on) y no defectuosos (si no tienen defectos de impresi on). Se supone que la cantidad de libros que salen de dicha imprenta es tan grande, que puede considerarse in nita. Por tanto, si elegimos y apartamos un libro, esto no altera el porcentaje de libros no defectuosos, que es 95 %.
a) Si se eligen al azar 20 libros, >cu al es la probabilidad de que 18 de ellos sean no defectuosos?
b) Si se eligen al azar 25 libros, >cu al es la probabilidad de que el n umero de libros no defectuosos sea mayor o igual que 21?
7._ Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan en una biblioteca escolar se devuelven con retraso. Se realiza el experimento que consiste en observar si la devoluci on de cada libro se ha hecho con retraso o no. Se eligen al azar 12 libros prestados.
a) >Cu al es la probabilidad de que se devuelvan con retraso 2 libros?
b) >Cu al es la probabilidad de que se devuelvan con retraso m as de 2 libros?
8._ Supongamos que el 1 % de la poblaci on de todos los usuarios de un centro de documentaci on tiene menos de 10 años. Supongamos, tambi en, que la poblaci on es su cientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 15 usuarios de dicho centro de documentaci on. Calcular:Dra. Josefa Mar n Fern andez. Grado en Informaci on y Documentaci on. Estad stica.
a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 10 a~nos.b) La probabilidad de que tengan menos de 10 años 3 usuarios o menos.
c) La probabilidad de que tengan menos de 10 años menos de 3 usuarios.
d) La probabilidad de que tengan menos de 10 años m as de 2 usuarios.
e) La probabilidad de que tengan menos de 10 años 2 usuarios o m as.
f) La probabilidad de que el n umero de usuarios con menos de 10 años est e comprendida entre 2 (incluido) y 10 (incluido).
g) El n umero medio de usuarios con menos de 10 años.
9._
10._ Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>.
En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente:
Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <<preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3.
La variable aleatoria X será: X = (1,2,3).
11._ Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número "1" y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número "2".
La variable aleatoria será: X = (1,2).
Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.
En general, una variable aleatoria discreta se define como una aplicación f (xi) tal que:
12._
13._
14._
15._
16._
17._
18-_
19._
20._
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