jueves, 2 de mayo de 2013

DISTRIBUCION NORMAL

Se llama distribución normaldistribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

Variable aleatoria continua




Los valores de la tabla normal representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.

Tabla distribución normal

Tabla distribución normalTabla normal

EJERCICIOS RESUELTOS:
Ejercicios resueltos distribución normal
4._Pasar una variable x N (8, 3) a una variable tipificada z N(1,0)

Ejercicios resueltos distribución normal

Porcentaje de población en los diferentes intervalos simétricos

variable
5._ Un estudio reciente realizado  por una asociación de contadores mostró que 23% de los estudiantes de contaduría eligan el ramo de contaduría pública. Se selecciona una muestra de 15 estudiantes.
a) Cuál es la probabilidad de que dos hayan seleccionado contaduría pública?
   
6._ Una encuesta de corretaje financiero (de EUA) reporta que 30% de los inversionistas individuales ha empleado a un corredor de descuento esto es uno que no cobra las comisiones completas. En una muestra seleccionada al azar de nueve inversionistas, cuál es la probabilidad de que:
a) Exactamente dos de los individuos de la muestra hayan empleado a un corredor de descuento?
   

7._ En la primavera de 2000 el salario inicial medio de los recién egresados de la escuela era $ 31280. Supóngase que los salarios iniciales siguen una distribución normal con desviación estándar $3300. Que porcentaje de los egresados tiene un salario inicial medio.
a) entre $ 30000 y $35000?


8._ Un estudio reciente de los sueldos por hora del personal de mantenimiento en aerolíneas importantes mostró que el salario medio por hora era $16,50 (dólares), con una desviación estándar de $3,50. Si se selecciona al azar un elemento de la tripulación, cuál es la probabilidad de que gane: 
a) entre $16,50 y $20,00 por hora?


9._ Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de 1.2°C. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C? 

10._ De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos, si el 
50% de los productos normalmente sale defectuoso.


11._ Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio? 


12._ Se toman 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm y una desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0.21 cm?


13._ En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. ¿En cuál de la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas?. 


14._ Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%? 


15._ 



16._ Un fabricante de focos afirma que us producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 


17._ 


18._ 


19._ 


20._ 


domingo, 19 de mayo de 2013

BLOQUE 4: APLICA Y REPRESENTA LA PROBABILIDAD BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINÚAS

En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por F_X(x) = P( X \le x ), la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P [X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.
En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt
Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.
Existe una definición alternativa más rigurosa en la que el término "distribución de probabilidad continua" se reserva a distribuciones que tienen función de densidad de probabilidad. Estas funciones se llaman, con más precisión, variables aleatorias absolutamente continuas. Para una variable aleatoria X absolutamente continua es equivalente decir que la probabilidad P[X = a] = 0 para todo número real a, en virtud de que hay un incontables conjuntos de medida de Lebesgue cero (por ejemplo, el conjunto de Cantor).
Una variable aleatoria con la distribución de Cantor es continua de acuerdo con la primera definición, pero según la segunda, no es absolutamente continua. Tampoco es discreta, ni una media ponderada de variables discretas y absolutamente continuas.
En aplicaciones prácticas, las variables aleatorias a menudo ofrece una distribución discreta o absolutamente continua, aunque también aparezcan de forma natural mezclas de los dos tipos.
Ejercicios resueltos:
1._  

2._ 

3._ 

4._ Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución acumulada:

Hallar:


a) Calcular P(X ≤ 1).

b) Calcular P(1 ≤ X ≤ 3).

c) Obtener la función de densidad de probabilidad.


Para la representación gráfica de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.

> x = seq(0,4,by=0.1)
> y = (x/4)*(1+log(4/x))
> plot(x,y,type="l",xlab="x",ylab="F(X)",main="Función de Distribución Acumulada, F(X)",col=2)



Apartado a)

Para calcular la probabilidad de este apartado, empleamos la función de distribución acumulada tal y como se muestra a continuación:


Apartado b)

Se procede igual que en el apartado anterior:



Apartado c)

Para obtener la función de densidad de probabilidad, empleamos la siguiente relación:

F'(x) = f(x)

Por lo tanto, realizamos las derivadas:


La derivada de una constante es cero, por lo que la función de densidad, queda tal y como sigue:


Para la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.

> y = log(4)/4-(log(x))/4
> plot(x,y,type="l",xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad de Probabilidad, f(x)",col=3)


5._ Sea X la duración, en minutos, de una conversación telefónica de larga distancia. Se supone que la función de densidad de probabilidad deX está determinada por:

Hallar:


a) Verificar que dicha función de densidad de probabilidad corresponde a una variable aleatoria continua.

b) En el supuesto que la función f(x) describe adecuadamente el comportamiento de la variable aleatoria X, calcule la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure cuando mucho 7 minutos. Calcule también que dure al menos 7 minutos y obtenga la probabilidad de que dure exactamente 7 minutos.

Apartado a)

Para verificar que la función f(x) corresponde a una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua, se debe cumplir las siguientes condiciones:

Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer:

1.
 f(x) > 0,...para todo x.

2. 

Procedemos a comprobarlo:


Realizamos el cambio de variable:

· t = -x/10
· dt = - dx/10

Por lo tanto:


Deshacemos el cambio de variable y resolvemos:

Como podemos observar, cumple las dos condiciones, por lo que podemos decir que la función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X dada.

Para la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.

> x = seq(0, 100, by=1)
> y = (1/10)*exp(-x/10)
> plot(x, y, type="l", xlab="x", ylab="f(X)", main="Función de Densidad de Probabilidad, f(X)", col=3)



Apartado b)


Para obtener las probabilidades requeridas, vamos, previamente, a obtener la función de distribución acumulada.


Realizando el cambio de variable similar al mostrado en el apartado anterior, obtenemos, finalmente:


Para la representación gráfica de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.

> x = seq(0, 100, by=1)
> y = (1/10)*exp(-x/10)
> plot(x, y, type="l", xlab="x", ylab="F(X)", main="Función de Distribución Acumulada, F(X)", col=2)

> x1 = seq(-1, 0) 
> y2 = rep(0, 11)
 
> lines(x1, y2, col=2)
 

Ahora, calculamos las probabilidades requeridas:

· P(X ≤ 7) = 1 - e-7/10 ≈ 0.503415

· P(X ≥ 7) 1 - P(X ≤ 7) = 1 - (1 - e-7/10) ≈ 0.496585

· P(X = 7) = 0

Es cero ya que un valor concreto no corresponde a una variable aleatoria continua, matemáticamente es fácil su demostración, la derivada de una constante es cero.

Y geométricamente, también es fácil corroborarlo, ya que el área encerrada bajo la curva de la función de distribución acumulada de un punto concreto es cero.


6._  Algunos plásticos de automóviles desechados se pueden separar de ellos y degradar para recuperar los componentes químicos. El mayor éxito ha sido el procesamiento del acojinamiento flexible de poliuretano de esos vehículos. Sea X la cantidad de ese material en libras por automóvil. Suponga que la función de densidad de probabilidad de X está dada por:

Hallar:


a) Verificar que dicha función de densidad de probabilidad corresponde a una variable aleatoria continua.

b) En el supuesto que la función f(x) describe adecuadamente el comportamiento de la variable aleatoria X, calcule la probabilidad de que un automóvil seleccionado al azar contenga entre 30 y 40 lb de acojinamiento de poliuretano.

c) Obtenga la media, la varianza y la desviación típica de X.


Apartado a)

Para verificar que la función f(x) corresponde a una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua, se debe cumplir las siguientes condiciones:

Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer:

1.
 f(x) > 0,...para todo x.

2. 

Procedemos a comprobarlo:


Como podemos observar, cumple las dos condiciones, por lo que podemos decir que la función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X dada.

Para la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.

> x = seq(25, 50, by=0.1)
> y = (1/log(2))*(1/x)
> plot(x, y, type="l", xlab="x", ylab="f(X)", main="Función de Densidad de Probabilidad, f(X)", col=3)



Apartado b)


Para obtener la probabilidad requerida, vamos, previamente, a obtener la función de distribución acumulada.


Por lo tanto, la función acumulada quedará:


Para la representación gráfica de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.

> x = seq(25, 50, by=0.1)
> y = (1/log(2))*(log(x/25))
> plot(x, y, type="l", xlab="x", ylab="F(X)", main="Función de Distribución Acumulada, F(X)", col=2)

> x1 = seq(50, 53)
> y1 = rep(1, 4)
> lines(x1, y1, col=2)
> x2 = seq(23, 25)
> y2 = rep(0, 3)
> lines(x2, y2, col=2)


Ahora, calculamos la probabilidad requerida:



Apartado c)

Para obtener la esperanza de X:


Por lo tanto:



Para la varianza de X:

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
Obtenemos primero:



Por lo tanto, la varianza de X será:


La desviación típica es fácil obtenerla a partir de la varianza de X:
7._ 

8._

9._ Suponga que la maestra de un enorme grupo dice que es necesario obtener una nota ubicada en el 10% superior de la distribución de calificaciones de la clase para sacar una A en un examen particular.
Por experiencia, ella puede estimar que la media y la desviación estándar de este examen serán de 72 y 13 respectivamente. Teniendo en cuenta que las calificaciones tienen una distribución normal, ¿cuál es la calificación mínima necesaria para obtener una A?

Sea la variable aleatoria X, la calificación mínima para obtener una A.

Los datos que nos ofrecen son los siguientes:

P(X ≥ x) = 0.10

Es decir, debemos obtener la calificación mínima para obtener una nota de A sabiendo que, la probabilidad es 0.10 y que la media es de 72 y su desviación estándar es de 13.

Nos hacemos una idea gráfica de lo que tenemos:



Observamos, que este es un típico problema de una resolución inversa, nos dan los datos de la probabilidad y nos piden el valor de la variable aleatoria para dicha probabilidad.

Adecuamos los datos a las tablas que dispone Aqueronte:

0.50 - 0.10 = 0.40

Por lo tanto, buscamos en la tabla el valor de 0.40 para obtener el Φ(x), y en este caso, no se dispone del valor exacto, por lo tanto, interpolamos linealmente:

..1.28.................Z................1.29
0.3997............0.4.............0.4015

De donde:

0.3997 - 0.4015....-> 1.28 - 1.29
0.3997 - 0.4..-> 1.28 - Z

Calculamos:


Por lo tanto, ahora disponemos de los datos necesarios para obtener la calificación mínima necesaria para obtener una A con una probabilidad del 10%:


Despejamos la variable y obtenemos: x = 53197/600.

Aproximadamente, la calificación mínima para obtener una calificación de A con una probabilidad de un 10% es de: x = 89.



10._ Los ingresos de los ejecutivos junior en una gran empresa están distribuidos normalmente con una desviación estándar de 1200$. Se piensa hacer un recorte de personal, por lo que los empleados que ganan menos de 28000$ serán despedidos.
Si el despido representa al 10% de tales ejecutivos, ¿cuál es el salario medio actual del grupo de ejecutivos junior?

Sea la variable aleatoria X, el salario de los ejecutivos junior.

Los datos que nos ofrecen son los siguientes:

P(X ≤ 28000) = 0.10
Tipificando a la normal, ya que el problema así nos lo indica:


Adaptamos los datos dados a las tablas disponibles en Aqueronte:


Es negativo ya que la probabilidad se encuentra en el semieje negativo X, gráficamente se ve más claro:



Buscamos en la tabla el valor de -0.40, y en este caso, no se dispone del valor exacto, por lo tanto, interpolamos linealmente:

..-1.28................-Z................-1.29
-0.3997............-0.4.............-0.4015

De donde:

-0.3997 + 0.4015....-> -1.28 + 1.29
-0.3997 + 0.4..-> -1.28 + Z

Calculamos:


Por lo tanto, ahora disponemos de los datos necesarios para obtener el salario medio actual de los ejecutivos junior:


Despejamos el valor medio y obtenemos la solución al problema: μ = 29 538$.



11._ Encontrar una fuente de abastecimiento para obreros es especialmente difícil cuando la tasa de desempleo de un país es relativamente baja. En estas condiciones, las fuentes de trabajo son escasas, y los salarios también tienden a subir. Según Fortune ("The Hunt for Good Factory Workers", 22 de Junio de 1998), en abril de 1998 el obrero promedio estadounidense ganaba 13.47$ por hora, más del 3.1% con respecto a lo que ganaba el año anterior.

Ese incremento porcentual era más que el aumento combinado de 1996 y 1997. Suponga que los salarios del obrero están distribuidos normalmente con una desviación estándar de 4.75$. ¿Qué porcentaje de los obreros estadounidenses gana:

a) entre 11.00$ y 15.00$ por hora?.

b) entre 8.00$ y 19.00$ por hora?.

c) más de 20.00$ por hora?.

d) menos de 6.00$ por hora?.


Sea la variable aleatoria X, salarios, en dólares, de los obreros estadounidenses por hora. El enunciado nos indica que se distribuye normalmente, por lo que usaremos la distribución normal para hallar los apartados requeridos.

Cuya media es: 13.47 y la desviación estándar: 4.75.


Apartado a)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(11.00 < . X < . 15.00)

Tipificamos los datos dados:
Operando la desigualdad:

P(-0.52 < Z < 0.32) = (0.5 + Φ(0.32)) - [1 - (0.5 + Φ(0.52))]

Buscamos en las tablas de la Normal dichos valores y resolvemos este apartado:

P(-0.52 < Z < 0.32) = Φ(0.32) + Φ(0.52) = 0.1255 + 0.1985 = 0.324

Apartado b)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(8.00 < . X < . 19.00)

Tipificamos los datos dados:

Operando la desigualdad:

P(-1.15 < Z < 1.16) = (0.5 + Φ(1.16)) - [1 - (0.5 + Φ(1.15))]

Buscamos en las tablas de la Normal dichos valores y resolvemos este apartado:

P(-1.15 < Z < 1.16) = Φ(1.16) + Φ(1.15) = 0.3770 + 0.3749 = 0.7519

Apartado c)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X >. 20.00)

Tipificamos los datos dados:

Operando la desigualdad:

P(Z > 1.37) = 1 - P(Z ≤ 1.37) = 1 - [0.5 + Φ(1.37)] = 0.5 - Φ(1.37)

Buscamos en las tablas de la Normal dichos valores y resolvemos este apartado:

P(Z > 1.37) = 0.5 - Φ(1.37) = 0.5 - 0.4147 = 0.0853

Apartado d)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X < .. 6.00)

Tipificamos los datos dados:

Operando la desigualdad:

P(Z < -1.57) = P(Z > 1.57) = 1 - P(Z ≤ 1.57) = 1 - [0.5 + Φ(1.57)]

Buscamos en las tablas de la Normal dichos valores y resolvemos este apartado:

P(Z < -1.57) = 0.5 + Φ(1.57) = 0.5 - 0.4418 = 0.0582

12._ En Estados Unidos, los pesos al nacer se distribuyen normalmente, con una media de 3420g y una desviación estándar de 495g. Si un hospital planea establecer condiciones especiales de observación para el 2% de los bebés menos pesados, ¿qué peso se utilizaría para establecer un punto de corte que separe al 2% de los bebés menos pesados de los demás?.


Sea la variable aleatoria X, pesos de los bebés estadounidenses. El enunciado nos indica que se distribuye normalmente, por lo que usaremos la distribución normal para hallar los apartados requeridos.

Cuya media es: 3420 y la desviación estándar: 495.

En este problema, nos dan los datos de la probabilidad y debemos hallar el valor de la variable aleatoria X que lo satisfaga.

Tenemos: P(X < . x) = 0.02

Tipificamos:

Despejamos:

Φ(z) = 0.02 - 0.5 = -0.48

Nos da un valor negativo, ésto indica que el valor de z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss. Las tablas que dispone Aqueronte, no ofrecen los valores negativos de la curva, pero no hay problema ya que son simétricos, por lo que buscamos en la tabla el valor 0.48 que de un z válido.

Es este caso, no está el valor exacto, por lo que realizamos una interpolación lineal:

..2.05.............Z..........2.06
0.4798........0.48.....0.4803

De donde:

0.4798 - 0.4803.-> 2.05 - 2.06
0.4798 - 0.48..-> 2.05 - Z

Calculamos:


Teniendo en cuenta que z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss, entonces: z = -2.054.

Por lo tanto, el peso de los bebés más pesados será de:

Despejamos x y obtenemos la solución a este problema: x = 2403.72



13._ La duración de los embarazos se distribuye normalmente, con una media de 268 días y una desviación estándar de 15 días.

Obtener:

a) Un uso clásico de la distribución normal está inspirado por una carta dirigida a "Dear Abby", en la que una mujer afirmaba haber dado a luz 308 días después de una breve visita de su esposo, quien trabajaba en la Marina. Dada esta información, calcule la probabilidad de que un embarazo dure 308 días o más. ¿Qué sugiere tal resultado?.

b) Si estipulamos que un bebé es prematuro cuando la duración del embarazo se encuentra en el 4% inferior, calcule la duración que separa a los bebés prematuros de quellos que no lo son. Los bebés prematuros suelen requerir cuidados especiales y este resultado podría ser útil para los administradores de hospitales que planeen esos cuidados.

El enunciado nos indica que se distribuye normalmente, por lo que usaremos la distribución normal para hallar los apartados requeridos.

Cuya media es: 268 y la desviación estándar: 15.


Apartado a)

Sea la variable aleatoria X, duración del embarazo.

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X > 308)

Tipificamos los datos dados:


Operando la desigualdad:

P(Z > 2.67) = 1 - P(Z ≤ 2.67) = 1 - [0.5 + Φ(2.67)]

Buscamos en las tablas de la Normal dichos valores y resolvemos este apartado:

P(Z > 2.67) = 1 - [0.5 + 0.4962] = 0.0038

Este resultado sugiere que la duración del embarazo sea 308 días o mayor es muy poco ocurrente, puede ser que el esposo no sea el padre.

Apartado b)

Sea la variable aleatoria Y, bebés prematuros.

En este problema, nos dan los datos de la probabilidad y debemos hallar el valor de la variable aleatoria Y que lo satisfaga.

Tenemos: P(Y < . y) = 0.04

Tipificamos:


Despejamos:

Φ(z) = 0.04 - 0.5 = -0.46

Nos da un valor negativo, ésto indica que el valor de z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss. Las tablas que disponeAqueronte, no ofrecen los valores negativos de la curva, pero no hay problema ya que son simétricos, por lo que buscamos en la tabla el valor 0.46 que de un z válido.

Es este caso, no está el valor exacto, por lo que realizamos una interpolación lineal:

..1.75.............Z..........1.76
0.4599........0.46.....0.4608

De donde:

0.4599 - 0.4608.-> 1.75 - 1.76
0.4599 - 0.46..-> 1.75 - Z

Calculamos:


Teniendo en cuenta que z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss, entonces: z = -1.751.

Por lo tanto, los bebés prematuros serán de:

Despejamos y para obtener la solución a este problema: y = 241.735, es decir, para que un bebé sea prematuro debe nacer, aproximadamente, en 242 días o menos.


14._ Los ingenieros deben tomar en cuenta la anchura de las cabezas de los hombres cuando diseñan cascos para motocicletas. La anchura de las cabezas de los hombres se distribuyen normalmente, con una media de 6.0 in y una desviación estándar de 1.0 in (según datos de una encuesta antopométrica de Gordon, Churchill, et al.).

Debido a las limitaciones económicas, los cascos serán diseñados para que se ajusten a todos los hombres, excepto al 2.5% con anchuras más pequeñas, y al 2.5% con anchuras más grandes.

Calcule las anchuras de cabeza mínima y máxima que se ajustarán a los cascos.


El enunciado nos indica que se distribuye normalmente, por lo que usaremos la distribución normal para hallar los apartados requeridos.

Cuya media es: 6.0 y la desviación estándar: 1.0.

Sea la variable aleatoria X, anchura de las cabezas de los hombres que se ajustarán a los cascos.

En este problema, nos dan los datos de la probabilidad y debemos hallar el valor de la variable aleatoria X que lo satisfaga.

Tenemos: P(X < . x) = 0.025

Tipificamos:

Despejamos:

Φ(z) = 0.025 - 0.5 = -0.475

Nos da un valor negativo, ésto indica que el valor de z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss. Las tablas que disponeAqueronte, no ofrecen los valores negativos de la curva, pero no hay problema ya que son simétricos, por lo que buscamos en la tabla el valor 0.475 que de un z válido.

En la tabla, encontramos el valor exacto: z = 1.96, ahora bien, tenemos que tener en cuenta que la z válida está en el semieje negativo X: z = -1.96.

Por lo tanto, las anchuras de cabeza mínima serán:

Despejamos x para obtener la solución a este problema: x = 4.04 pulgadas.

Para obtener las anchuras máximas, procedemos de forma similar:

Tenemos: P(X >. x) = 0.025

Tipificamos:


Despejamos:

Φ(z) = -(0.025 - 0.5) = 0.475

Buscamos en la tabla el valor 0.475 que de un z válido.

En la tabla, encontramos el valor exacto: z = 1.96.

Por lo tanto, las anchuras de cabeza máxima serán:

Despejamos x para obtener la solución a este problema: x = 7.96 pulgadas.


En resumen:
  • Anchura de cabeza mínima: 4.04 in.
  • Anchura de cabeza máxima: 7.96 in.

15._ Una falla mecánica desapercibida ha provocado que 1/3 de la producción de una máquina de un taller de 5000 percutores de rifle estén defectuosos.

¿Cuál es la probabilidad de que un inspector encuentre no más de tres percutores de rifle defectuosos en una muestra de 25?.

Sea la variable aleatoria X, defectos en los percutores de rifle. Este es un claro ejemplo de acierto o error, por lo que estamos ante una distribución binomial: X ~ B(25, 1/3).

Comprobaremos, si se puede aproximar a la normal, para ello, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. n·p ≥ 5: 25·1/3 ≈ 8.33 ≥ 5 OK.

2. n·q ≥ 5: 25·(1 - 1/3) ≈ 16.67 ≥ 5 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ .

Debemos calcular: P(X ≤ 3), pero antes, debemos aplicar la corrección por continuidad, por lo tanto, tenemos: P(X < . 3.5).

Tipificamos:


Operamos la desigualdad:

P(Z < -2.05) = P(Z > 2.05) = 1 - P(Z ≤ 2.05) = 1 - [0.5 + Φ(2.05)] = 0.5 - Φ(2.05)

Buscamos en la tablas y sustituimos su valor para obtener la solución a este problema:

P(Z > 2.05) = 0.5 - Φ(2.05) = 0.5 - 0.4798 = 0.0202
16._ La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la superficie del metal y después medir la profundidad de penetración del punto.

Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación está normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándar de 3 (la dureza Rockwell se mide en una escala continua).

Determinar:

a) Si un espécimen es aceptable sólo si su dureza está entre 67 y 75, ¿cuál es la probabilidad de que un espécimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable?.

b) Se la escala aceptable de dureza es (70 − c, 70 + c), ¿para qué valor de c tendría una dureza aceptable 95% de todos los especímenes?.


Realizamos una recopilación de los datos importantes que nos ofrece el enunciado del problema:

· X ≡ 'Dureza de Rockwell'.
· Sigue una distribución Normal: X ~ N(70, 3).

Pasamos a resolver los distintos apartados del problema.


Apartado a)

Nos piden obtener la probabilidad: P(67 ≤ X ≤ 75), tipifico a la normal:

Por lo tanto:

P(-1 ≤ Z ≤ 1.666667) = [0.5 + Φ(1.666667)] - [1-(0.5 + Φ(1))]= Φ(1.666667) + Φ(1)

En este caso, no se dispone del valor exacto en las tablas, por lo tanto, interpolamos linealmente:

..1.66.............1.666667..........1.67
0.4515................P...............0.4525

De donde:

1.66 - 1.67.-> 0.4515 - 0.4525
1.66 - 1.666667..-> 0.4515 - P

Calculamos:


Por lo tanto, la solución a este apartado es:

P(-1 ≤ Z ≤ 1.666667) = Φ(1.666667) + Φ(1) = 0.452167 + 0.3413 = 0.793467


Apartado b)

En este apartado, debemos obtener el valor del parámetro c para que se cumpla la siguiente igualdad: P(70 - c ≤ X ≤ 70 + c) = 0.95, tipifico a la normal:


Despejamos Φ(z):

Φ(z) = 0.95/2 = 0.475

Buscamos en la tabla el valor 0.475 que de un z válido, en nuestro caso, obtenemos un valor exácto, el Z = 1.96.

Por lo tanto, el valor del parámetro c es:
1.96 = c/3

Despejamos c y obtenemos la solución a este problema: c = 5.88



17._  
18._ La variable aleatoria X que representa la duración (en horas) de las conexiones desde un puesto a dominios de la red “no relacionados directamente con el trabajo” viene dada por la siguiente función de densidad:

Hallar:


a) Si un empleado es pillado, la empresa le sanciona con una cantidad Z = X2 euros, ¿cuál es la probabilidad de que un sancionado tenga que pagar más de 5 euros?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado esté entre media hora y tres cuartos de hora conectado a la red “sin trabajar”?.

c) El coste (en euros) para la empresa viene dado por la variable aleatoria: Y = 2 + bX. Calcula el valor de b para que el 95% de las conexiones tengan un coste que no supere los 6 euros.


Vamos a obtener la función de distribución acumulada.


Hacemos un cambio de variable:

· m = -3t
· dm = -3dt

Aplicamos el cambio de variable:


Deshacemos el cambio de variable y resolvemos:


Por lo tanto, la función acumulada quedará:


Pasamos a resolver los distintos apartados del problema.


Apartado a)

Necesitamos resolver la siguiente probabilidad:

P(Z > 5)

En enunciado nos indica que Z = X2, despejamos:

P(Z > 5) = P(X2 > 5) = P(X > ±√5)

Teniendo en cuenta que para valores negativos, el valor de la variable aleatoria es cero, debemos resolver, empleando la función de distribución acumulada:

P(Z > 5) = P(X > √5) = 1 - P(X ≤ √5) = 1 - (1 - e-3√5) = e-3√5 ≈ 0.001221

Por lo tanto, que un empleado sea sancionado tenga que pagar más de 5€ es de, aproximadamente, 0.001221, una probabilidad baja.

Apartado b)

La variable aleatoria está determinada en horas, por lo que pasamos los datos a dicha magnitud:

30 minutos = 0.5 horas.
45 minutos = 0.75 horas.

Y la probabilidad que debemos obtener, es la siguiente:

P(0.5 < .X < .0.75) = F(0.75) - F(0.5) = (1 - e-3·0.75) - (1 - e-3·0.5) = -e-2.25 + e-1.5 ≈ 0.117731

Por lo tanto, la probabilidad de que un trabajador esté entre media hora y tres cuartos de hora conectado a la red sin trabajar es de, aproximadamente, 0.117731.


Apartado c)


En este apartado no dan una función que contiene nuestra variable aleatoria continua X, ésta es:

Y = 2 + b·X

Y la probabilidad que debemos obtener es:

P(Y ≤ 6)

Sustituimos:

P(Y ≤ 6) = P(2 + b·X ≤ 6)

Despejamos la variable aleatoria X, en función del parámetro que debemos obtener, b:

X ≤ 4/b

Una vez obtenido el valor de X en función de b y sabiendo la probabilidad, 0.95, obtenemos el parámetro b:

P(X ≤ 4/b) = F(4/b) = 1 - e-3·4/b = 1 - e-12/b = 0.95

Despejamos:

e-12/b = 0.05

Aplicamos logaritmo neperiano:

-12/b = Ln(0.05)

Despejamos el parámetro b para obtener su valor y resolver este apartado:

b = -12/Ln(0.05) ≈ 4.005698

Por lo tanto, el valor del parámetro b para que el 95% de las conexiones tengan un coste que no supere los 6€ es de, aproximadamente,4.005698.



19._  Una empresa compra determinada pieza a dos fábricas Q y R, el porcentaje de piezas que llegan en mal estado a la empresa es del 11%.

Si se toman al azar 500 piezas de un pedido, hallar la probabilidad de que al menos 440 estén en buen estado.


Sea la variable aleatoria discreta X, piezas que llegan a la empresa en buen estado. Realizamos en resumen de los datos que nos ofrece el enunciado del problema:

La variable aleatoria discreta X, sigue una distribución binomial: X ~ B(500, 1-0.11) = B(550, 0.89).

Comprobaremos, si se puede aproximar a la normal, para ello, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. n·p ≥ 5: 500·0.89 = 445 ≥ 5 OK.

2. n·q ≥ 5: 500·0.11 = 55 ≥ 5 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ N(n·p, √(n·p·q)) ≈ N(445, 6.996428).

Debemos calcular: P(X ≥ 440) = 1 - P(X < .440), pero antes, debemos aplicar la corrección por continuidad, por lo tanto, tenemos: 1 - P(X <.440.5 ).

Tipificamos:


Operamos:

P(X < .440.5) = 1 - P(Z < .-0.643185) = 1 - [1 - (0.5 + Φ(0.643185))] = 0.5 + Φ(0.643185)

En este caso, no se dispone del valor exacto en las tablas que están en Aqueronte para su consulta, por lo tanto, interpolamos linealmente:

..0.64........0.643185.......0.65
0.2389............P............0.2422

De donde:

0.64 - 0.65.-> 0.2389 - 0.2422
0.64 - 0.643185.-> 0.2389 - P

Calculamos:


Sustituyendo valores, obtenemos la solución a este problema:
P(X < .440.5) = 0.5 + Φ(0.643185) = 0.5 + 0.239951 = 0.739951

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 440 de entre 500 piezas que llegan a la empresa, estén en buen estado, es de 0.739951.
20._ En un experimento de laboratorio se utiliza cierto material. Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días y que sigue una distribución exponencial, ¿cuántos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de este material?.


Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el problema:

· X ≡ 'Tiempo transcurrido hasta que desaparezca el material'.
· La variable X se distribuye de forma exponencial: X ~ exp(140) días.

En este problema, debemos obtener los días que transcurren hasta que desaparezca el material dada una probabilidad:
P(X ≤ R) = 0.9

Para resolverlo, emplearemos la distribución acumulada sabiendo que la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es:


Siendo:

· β = 140.

Y que la relación entre función de densidad de probabilidad y función de distribución acumulada es:


Por lo tanto:


Realizamos el siguiente cambio de variable:

· t = -x/140
· dt = -dx/140

Sustituimos:


Deshacemos el cambio de variable:

· t = -x/140

Sustituimos y obtenemos la solución a este apartado:

P(X ≤ R) = -e-x/140|R0 = -(e-R/140 - 1) = 1 - e-R/140

Empleamos la función de distribución acumulada obtenida:

P(X ≤ R) = F(R) = 1 - e-R/140 = 0.9

Simplificamos:

e-R/140 = 0.1

Empleamos las propiedades del logaritmo neperiano para resolver este apartado:

-R/140 = Ln(0.1)

Despejamos el parámetro R para obtener la solución:

R = -140·Ln(0.1) = 322.361913

Por lo tanto, el tiempo transcurrido hasta que desaparezca el material dada una probabilidad de 0.9 es de, 322.361913 días

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