En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
EJEMPLOS:
Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:
· Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
· Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
· Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad p de moverse de aquí para allá y 1-q de moverse de allá para acá
Su función de probabilidad es
donde
siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )
RELACIONES CON OTRAS VARIABLES ALEATORIAS
Si tiende a infinito y es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro .
Por último, se cumple que cuando n es muy grande (usualmente se exige que ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1._ Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
2._ La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
3._ Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.
Solución: Se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cuantas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.
d={AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS}
n = número de lanzamientos de moneda
x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2
p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2
q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2
n = 3, x = 2.
Probabilidad asociada a cada rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)= p*p*q = p2q=
=
n = 3, x = 2, p = ½
4._ Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
Solución:
a) n = 5
x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
b)
c) En este caso cambiaremos el valor de p;
n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75
5._ Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
Solución:
a) n =12
x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa
x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa
p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40
q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60
= 0.21284
b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1-[p(x=0,1,2)]=
= 1-[0.002176+0.0174096+0.06385632]= 1- 0.08344192= 0.91656
c)
= 0.22703
6._ La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.
Solución:
a)n =10
x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB
x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB
p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15
q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85
= 0.00849
b)p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) =
= 1 – [(0.19687+(10)(0.15)(0.231617)]=1-0.544296 = 0.455705
c) n=10
x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2 dB
x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB
p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85
q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15
=(210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)=
=0.001249 + 0.00849 + 0.00400997 = 0.01374897
d)n=10, p=0.15, q=1-p=0.85
Interpretación:
Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de 2 Db
Interpretación:
Este experimento puede variar en 2 ± 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB
11._ Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
12._ La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
13._Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
14._ Lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más
caras que cruces
.
.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
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