miércoles, 1 de mayo de 2013

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS


CÁLCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (radio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.



La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.

La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).

Distribución de probabilidad continua

Es posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral
{\sigma}^2 = \int_{(x - \mu)}^2 f(x) dx
donde
\mu = \int_{x} f(x) dx

[editar]Distribución de probabilidad discreta

La DS es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de probabilidad discreta
s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n
 \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2
Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

También hay otra función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener equivocaciones :
s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\overline{x}^2}{n-1}



EJERCICIOS RESUELTOS:
1._ Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }
1. Calcular el promedio o media aritmética \overline{x}.
\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.
En este caso, N = 6 porque hay seis datos:
x_1 = 4\,\!
x_2 = 1\,\!
x_3 = 11\,\!
x_4 = 13\,\!
x_5 = 2\,\!
x_6 = 7\,\!
i = número de datos para sacar desviación estándar
\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 x_i       Sustituyendo N por 6
\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \right )
\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( 4 + 1 + 11 + 13 + 2 + 7 \right )
\overline{x}= 6,33   Este es el promedio.

2._ 


3._  



4._ 



5._ 



6._



7._ 

8._

9._ 

10._ 


11._ 


12._  



13._ 

14._ 


15._ 



16._ 

17._ 


18._ 


19._ Las edades de una muestra de turistas canadienses que vuelan de Toronto a Hong Kong, fueron :
   32       21       60       47       54      17       72       55       33       41
a)  Calcule la amplitud de variación
   
  
  






b)  Determine la desviación media
    


c)  Evalúe la desviación estándar 
   


20._ Los pesos ( en libras ) de una muestra de cinco cajas enviadas por el servicio de mensajería UPS es :
              12       6       7       3       10  
a) Obtenga la amplitud de variación
       12  -  3  =  9
b)  Calcule la desviación media
    





c)  Determine la desviación estándar
   

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