PROBABILIDAD Y ESTADISTICA : PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee “la probabilidad de A dado B”.

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ y dos eventos (o sucesos) $A, B\in \mathcal F$ con $P(B)>0$ ,, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

PROPIEDADES

$P(A \mid B) + P(\bar{A} \mid B) = 1$
$B \subseteq A \to P(A \mid B) = 1$
$P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid \bar{B}) \cdot P(\bar{B})$

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

$P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B).$

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, $P(A \cap B)$ ó $P(A, B).$

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

$P(A|B) \ = \ P(A)$

$P(B|A) \ = \ P(B).$

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos dependientes.

Los conjuntos A y B no intersectan. Son mutuamente excluyentes.

EJERCICIOS RESUELTOS:

1._ Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y

De donde

Nótese que

es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

2._ Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.

Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2

hay 8 esferas blancas en un total de 12.

Ahora bien, tenemos:

3._ La probabilidad de que una persona entre conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la probabilidad de que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es de 0.08.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad o sin licencia?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad?

P(EV) = 0.35 ; P( SL ) = 0.15 = P(EV ∩ SL ) = 0.08
P(EV U SL ) = 0.35 + 0.15 – 0.08 = 0.42
P(SL | EV) = 0.08/0.35 = 0.2286

4._ La probabilidad de que una persona posea un teléfono celular es de 0.35, la probabilidad de que sea un profesionista es de 0.25 y la probabilidad de que ya sea profesionista o posea un teléfono celular es de 0.50.

Encuentre la probabilidad de que una persona:

a) Posea un teléfono celular y sea profesionista;

b) Sea profesionista dado que no posee un teléfono celular;

c) Posea un teléfono celular dado que es profesionista.

P(CE) = 0.35; P(PF) = 0.25 P(PF U CE) = 0.50

P(CE ∩ PF) = 0.35 + 0.25 – 0.50 = 0.10.

P(PF | CE’) = 0.25/0.65 = 0.3846

P(CE | PF) = 0.10/0.25 = 0.40

5._La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a tiempo es de 0.40.

Calcule la probabilidad de que el avión:

a) Llegue a Houston dado que no llegó a tiempo a Denver;

b) Llegue a Houston dado que llegó a Tiempo a Denver.

P(D ) = 0.30; P(H) = 0.40; P(H’ ∩ D’ ) = 0.40

P(H | D’) = 0.30/0.70 = 0.4286

P(H | D) = 0.10/0.30 = 0.3333

6._Se lanza un dado tantas veces como sea necesario hasta que aparezca un tres. Si suponemos que el tres no aparece en la primera lanzada

(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten más de cuatro lanzadas?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda en la tercera lanzada?

Solución.

(a) Deﬁnimos los eventos:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que en las primeras cuatro lanzadas no sale tres.

p(B|A) es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzadas para que aparezca tres

si en la primera no sale tres. Debemos calcular p(B ∩ A) y p(A). Puesto que B ∩ A = B

¿Porque? entonces p(B ∩A) = p(B) = (5)^4/ (6)^4 y p(A) = 5/6. Así

p(B|A) = (5)^3/ (6)^3

(b) Los eventos son:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que el tres sale en la tercera lanzada y no antes.

p(B|A) indica la probabilidad de que el tres aparece por primera vez en la tercera lanzada

sabiendo que no salió en la primera. A ∩ B = B Puesto que si tres sale por primera vez en

la tercera lanzada entonces la primera lanzada no es tres. p(B) = (5)^2/ (6)^3 y p(A) =5/6

p(B|A) = 5/ (6)^2

7._ Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad? Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}

el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad

p(A) = 1/4 = 0,25

La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY}
la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior

p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5

Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral p(A|B) = 1/2 = 0,5

8._ Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?

A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}
A Ç B = {ser hipertenso y fumador}

p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20

9._ Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?

A₁ = {problemas vasculares};

A₂ = {placas de ateroma};

A₃ = {expuesto a muerte súbita por ....}

p(A₁) = 0,001; p(A₂|A₁) = 0,20; p(A₃|A₁ Ç A₂) = 0,1

p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002

10._ Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes.

Definimos A₁ = {la 1ª bola es azul}; A₂ = {la 2ª bola es verde}; A₃= {la 3ª bola es verde}
p(A₁) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes.
p(A₂|A₁) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes.
p(A₃|A₁ Ç A₂) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.

p(A1 Ç A2 Ç A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18

11._ Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

$A$ = "la suma de los puntos es siete" y

$B$ = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso $B \left| \, A \, \right.$ es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas $\left( <pre> \, 3, \, 4 \, </pre> \right)$ y $\left( <pre> \, 4, \, 3 \, </pre> \right)$ . Por tanto,

$\mathrm{P} \left( <pre> \, B \left| \, A \, \, \right. </pre> \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}$

12._ Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

13._ En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

14._

15._

16._ En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos.Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no. Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Calcular:

1) La probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.

Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la condición.

Suceso A: la persona sea un encargado ( suceso pedido)

Suceso B: no tiene ordenador ( suceso que condiciona)

2) Si se sabe que la persona elegida es un administrativo, cual es la probabilidad de que sea alguien que tenga ordenador.

Suceso A: la persona con ordenador (suceso pedido)

Suceso B: la persona es un administrativo (suceso que condiciona)

17._ Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

d = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,

E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)

E = {21 elementos, los que suman siete o más}

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro}

A = {(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}

Luego,

AÇE = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}, ½AÇE½= 4 elementos

Por tanto;

p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 4/21 = 0.19048

b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos números sean pares

(2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) (6,6)

(6,2)

AÇE = (4,4) (6,4) ½AÇE½= 6 elementos

(2,6) (4,6) (6,6)

p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½

= 6/ 21

= 0.28571

c. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos

siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos

(2,1)

(2,2)

A = (2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

AÇE = {(2,5)}, ½AÇE½= 1 elemento

P(A½E) = ½AÇE½/½E½

= 1/21

= 0.04762

18._ Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección;

TIPO FLECHA

DEFECTO	A	B	C	D	TOTAL
I	54	23	40	15	132
II	28	12	14	5	59
S - DEF	118	165	246	380	909
TOTAL	200	200	300	400	1100

a. Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha seleccionada es del tipo C, ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c. Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, d. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?

Solución:

a. Definiremos los eventos;

E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = {200 elementos o flechas}

A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = {909 flechas o elementos}

AÇE = {165 elementos del tipo B y que no tienen defectos}

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 165/200 = 0.825

b. E = evento de que la flecha sea del tipo C ={300 flechas}

A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II ={59 flechas}

AÇE = {14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II }

p(A½E) =½AÇE½/½E½= 14/300 = 0.04667

c. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = {132 flechas}

A = evento de que la flecha sea del tipo A = {200 flechas}

AÇE = {54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A}

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 54 / 132 = 0.40901

d. En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento que esté condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad

D = evento de que una flecha no tenga defectos = {909 flechas}

d = {1100 flechas}

p(D) = 909/1100 = 0.82636

e. F = evento de que una flecha tenga defectos = {132 + 59 = 191 flechas}

d = {1100 flechas}

p(F) = 191 / 1100 = 0.17364

19._ Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?

Solución:

Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de un solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.

Y el espacio muestral obtenido es:

H = niño

M = niña

d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

a. A = evento de que la familia tenga puros hijos varones

A = {HHH}

p(A) = 1/8 = 0.125

b. B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

B = {ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM, HMM, MHM, MMH}

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c. C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón

C = {HHH, HHM, MHH, MHM }

P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

d. Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A;

E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija

E = {tenga una o más hijas}

E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}

A = evento de que el segundo hijo sea varón

A = { HHH, HHM, MHH, MHM }

AÇE = { HHM, MHH, MHM }= {3 elementos}

Luego;

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 3/7 = 0.42857

e. E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

A = evento de que la familia tenga puras hijas

E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}

A = {MMM}

AÇE = {MMM} = {1 elemento}

P(A½E) = ½AÇE½/½E½= 1/4 = 0.25

20._ Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor,
¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina? Solución: a. E = evento de que un auto cargue gasolina b.

p(E) = 0.79

A = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(A) = 0.11

AÇE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite

p(AÇE) = 0.07

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881

c. E = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(E) = 0.11

A = evento de que un auto ponga gasolina

P(A) = 0.79

AÇE = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina

P(AÇE) = 0.07

P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

miércoles, 22 de mayo de 2013

PROBABILIDAD CONDICIONAL

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